В первом периоде два химических элемента, во втором и третьем периодах по восемь химических элементов, в четвёртом и пятом периодах по восемнадцать химических элементов, в шестом и седьмом периодах по тридцать два химических элемента: $$2; 8; 8; 18; 18; 32; 32; \ldots$$ Мне удалось выразить данную числовую последовательность (обозначив её за \(E_n\)) в виде формулы:
$$E_n=\frac{\left(n+\sqrt{2^{(-1)^n+1}}\right)^2}{2}$$
И действительно:
  1. \(E_1=\frac{\left(1+\sqrt{2^{(-1)^1+1}}\right)^2}{2}=\frac{\left(1+\sqrt{2^{-1+1}}\right)^2}{2}=\frac{\left(1+\sqrt{2^0}\right)^2}{2}=\frac{\left(1+\sqrt{1}\right)^2}{2}=\frac{(1+1)^2}{2}=\frac{2^2}{2}=\frac{4}{2}=2\)
  2. \(E_2=\frac{\left(2+\sqrt{2^{(-1)^2+1}}\right)^2}{2}=\frac{\left(2+\sqrt{2^{1+1}}\right)^2}{2}=\frac{\left(2+\sqrt{2^2}\right)^2}{2}=\frac{\left(2+\sqrt{4}\right)^2}{2}=\frac{(2+2)^2}{2}=\frac{4^2}{2}=\frac{16}{2}=8\)
  3. \(E_3=\frac{\left(3+\sqrt{2^{(-1)^3+1}}\right)^2}{2}=\frac{\left(3+\sqrt{2^{-1+1}}\right)^2}{2}=\frac{\left(3+\sqrt{2^0}\right)^2}{2}=\frac{\left(3+\sqrt{1}\right)^2}{2}=\frac{(3+1)^2}{2}=\frac{4^2}{2}=\frac{16}{2}=8\)
  4. \(E_4=\frac{\left(4+\sqrt{2^{(-1)^4+1}}\right)^2}{2}=\frac{\left(4+\sqrt{2^{1+1}}\right)^2}{2}=\frac{\left(4+\sqrt{2^2}\right)^2}{2}=\frac{\left(4+\sqrt{4}\right)^2}{2}=\frac{(4+2)^2}{2}=\frac{6^2}{2}=\frac{36}{2}=18\)
  5. \(E_5=\frac{\left(5+\sqrt{2^{(-1)^5+1}}\right)^2}{2}=\frac{\left(5+\sqrt{2^{-1+1}}\right)^2}{2}=\frac{\left(5+\sqrt{2^0}\right)^2}{2}=\frac{\left(5+\sqrt{1}\right)^2}{2}=\frac{(5+1)^2}{2}=\frac{6^2}{2}=\frac{36}{2}=18\)
  6. \(E_6=\frac{\left(6+\sqrt{2^{(-1)^6+1}}\right)^2}{2}=\frac{\left(6+\sqrt{2^{1+1}}\right)^2}{2}=\frac{\left(6+\sqrt{2^2}\right)^2}{2}=\frac{\left(6+\sqrt{4}\right)^2}{2}=\frac{(6+2)^2}{2}=\frac{8^2}{2}=\frac{64}{2}=32\)
  7. \(E_7=\frac{\left(7+\sqrt{2^{(-1)^7+1}}\right)^2}{2}=\frac{\left(7+\sqrt{2^{-1+1}}\right)^2}{2}=\frac{\left(7+\sqrt{2^0}\right)^2}{2}=\frac{\left(7+\sqrt{1}\right)^2}{2}=\frac{(7+1)^2}{2}=\frac{8^2}{2}=\frac{64}{2}=32\)
Исходя из этой формулы, в восьмом и девятом периодах будет по пятьдесят химических элементов, что подтверждается правилом Клечковского.